Unidad 2 Graficacion
Unidad II
Transformaciones Geometricas
2. 1 Transformaciones geométricas.
Las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llamará “homólogo” de la original.
Las transformaciones se clasifican en:Directa.
El homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano
Inversa.
El sentido del homólogo y del original son ahora contrarios.
Isométricas.
El homólogo conserva las dimensiones y ángulos. También se llaman “movimientos”, éstos son simetría axial y puntual, rotación y traslación.
2.1 Transformaciones bidimensionales.
Los procedimientos para desplegar dispositivos de salida y sus atributos, se puede crear una variedad de formas de figuras y graficas. En muchas aplicaciones, también hay una necesidad de alterar o manipular despliegues. Algunas veces se necesita reducir el tamaño de un objeto o grafica para colocarlo en un despliegue mayor. También podría desearse probar la apariencia de modelos de diseño reacomodando las posiciones relativas y los tamaños también relativos de las partesw del modelo. En aplicaciones de animación, se necesita producir movimiento continuo de objetos desplegados alrededor de la pantalla. Estas diversas manipulaciones se llevan a cabo aplicando transformaciones geométricas adecuadas a los puntos coordenados de despliegue.
2.1.1 Traslación.
Se traslada un punto de la posición coordenada (X, Y) a una nueva posición (x’, y’) agregando distancias de traslación, Tx y Ty, a las coordenadas originales: x’ = x + Tx, y’ = y + Ty.
El par de distancia de traslación (Tx, Ty) se denomina también vector de traslación o bien vector de cambio.
Los polígonos se trasladan agregando las distancias de traslación especificadas a las coordenadas de cada punto extremo de la línea en el objeto.
Los objetos trazados con curvas se trasladan cambiando las coordenadas definidoras del objeto. Para cambiar la posición de una circunferencia o elipse, se trasladan las coordenadas centrales y se vuelve a trazar la figura en la nueva localidad.
Las distancias de traslación pueden especificarse como cualquier número real (positivo, negativo o cero). Si un objeto se traslada más allá de los límites del despliegue en coordenadas del dispositivo, el sistema podría retornar un mensaje de error, suprimir partes del objeto que sobrepasan los límites del despliegue o presentar una imagen distorsionada.
2.1.2 Rotación.
Se pueden hacer que los objetos giren alrededor de un punto arbitrario o el punto pivote de la transformación de rotación puede colocarse en cualquier parte en el interior o fuera de la frontera exterior de un objeto, el efecto de la rotación consiste en oscilar el objeto con respecto a este punto interno.
2.1.3 Escalación.
2.2 Coordenadas homogéneas y representación matricial.
Usualmente se requiere hacer varias transformaciones, como una escala seguida de una rotación. Si se requiere rotar un objeto alrededor de su propio centro, primero hay que trasladarlo al origen, luego rotarlo y finalmente regresarlo a su posición inicial. Conviene pues conocer las transformaciones inversas.
2.3 Composición de transformaciones bidimensionales.
Estos cambios en orientación, tamaño y forma se llevan a cabo mediante transformaciones geométricas que alteran las descripciones de las coordenadas de los objetos: La traslación, la rotación, el escalado y el sesgado son ejemplos de transformaciones geométricas, entonces podemos decir que trabajamos objetos o gráficos bidimensionales.
Otro ejemplo de aplicación es utilizar la isometría, que es un tipo de proyección en tres dimensiones en el que todos los planos principales están dibujados paralelamente a los correspondientes ejes y en escalas de magnitud real; generalmente las horizontales están dibujadas a 30 grados de la normal del eje horizontal y las verticales permanecen paralelas a la normal del eje vertical. Tiene un efecto de vista desde un punto, visualizándose diversos tamaños.
2.3.1 Traslaciones Rotaciones y Escalaciones.
Estas transformaciones se representan mediante un matriz de tres por tres.
Los elementos a, b, c, d, tx y ty.
Las posiciones adicionales u, v y w no las tomaremos en cuenta porque por el momento no son importantes.
El significado para cada posición es la siguiente
- Escalado en el eje x.
- Sesgado en el eje y.
- Sesgado en el eje x.
- Escalado en el eje y.
- Traslación en el eje x
- Traslación en el eje y
2.3.2 Rotación de punto de pivote general.
Con un paquete de gráficas que sólo ofrece una función de rotación para girar objetos con respecto del origen de coordenadas, podemos generar casi cualquier punto pivote seleccionado (xr, yr) al realizar la siguiente secuencia de operaciones de traslación-rotación-traslación:
1. Traslade el objeto de modo que se mueva la posición de punto pivote al origen de las coordenadas.
2. Gire el objeto con respecto del origen de las coordenadas.
3. Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posición original.
2.3.3 Escalación del punto fijo general.
El factor de escalación sx escala objetos en la dirección de x, mientras que el factor de escalación sy lo hace en la dirección de y.
Cuando se asignan el mismo valor a sx y sy’ se general una escala uniforme. Y cuando se asignan valores distintos a sx y sy se obtiene una escala diferencial.
Podemos encontrar la localización de un objeto escalonado al seleccionar una posición llamada punto fijo, que debe permanecer sin cambio después de la transformación de escalación.
2.3.4 Propiedades de concatenación.
También se puede concatenar dos cadenas de caracteres o un carácter con una cadena para formar una cadena de mayor tamaño.
Algunos ejemplos serían:
- ‘a’ concatenado ‘b’ → “ab”
- “ABCD” concatenado ‘b’ → “ABCDb”
- ‘a’ concatenado “XYZ” → “aXYZ”
- “ABCD” concatenado “XYZ” → “ABCDXYZ”
2.4 Transformación Ventana Área de Vista.
Consideremos que tenemos una ventana del mundo real cuyos límites son {x_min, x_max, y_min, y_max}
Deseamos mapear a coordenadas de pantalla con límites {u_min, u_max, v_min, v_max}. Para tal propósito debemos:
- Trasladar las coordenadas mínimas al origen T(-x_min, -y_min),
- Aplicar un escalamiento anisotrópico dado por S ((u_max-u_min)/(x_max-x_min), (v_max-v_min)/(y_max-y_min)) y
- Trasladar las coordenadas a un nuevo origen u_min, v_min T (u_min, v_min)
2.5 Transformaciones de composicion general y de eficiencia computacional
Una transformación bidimensional general, que representa una combinación de traslaciones, rotaciones y escalaciones se puede expresar como Los cuatro elementos rsij son los términos multiplicativos de rotación -escalación en la transformación que implican sólo ángulos de rotación y factores de escalación.Los elementos trs x y trs y son los términos de traslación que contienen combinaciones de distancias de traslación, coordenadas de punto pivote y de punto fijo, así como de ángulos de rotación y parámetros de escalación.Por ejemplo, si debe escalar, girar un objeto con respecto de las coordenadas de sucentroide (x c, y c) y después trasladarlo.
Así, en realidad solo necesitamos efectuar cuatro multiplicaciones y cuatro adiciones para transformar las posiciones de las coordenadas. Este es el número máximo de cálculos que se requieren para cualquier secuencia de transformación, una vez que se han concatenado las matrices individuales, y evaluados los elementos de la matriz compuesta. Sin concatenación, se aplicarían las transformaciones individuales una a la vez y se podría reducir en forma considerable el número de cálculos.
2.6 Representacion matricial de tranformaciones tridimencionales. Representacion matricial de traformaciones tridimencionales
Las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar de representar un punto como (x, y, z), lo hacemos como (x, y, z, W), donde dos de estos cuádruplos representan el mismo punto si uno es un multiplicador distinto de cero del otro: no se permite el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la representación estándar de un punto (x, y, z, W) con W ≠ 0 se indica (x/W, y/W, z/W, 1).La transformación de un punto a esta forma se denomina homogeneización, igual que antes. Además los puntos cuya coordenada W es cero se llaman puntos en el infinito.
Las transformaciones geométricas tridimensionales que se estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.
2.7 Composicion de Tranformaciones Trudimensionales
Las transformaciones geométricas básicas son la traslación, la rotación y la escalación. La traslación mueve un objeto con una trayectoria en línea recta de una posición a otra. La rotación mueve un objeto de una posición a otra a lo largo de una trayectoria circular sobre un eje de rotación específico. Para aplicaciones bidimensionales, la trayectoria de rotación se encuentra en el plano x y sobre un eje que es paralelo al eje z.
Las transformaciones de cambio de escala cambian las dimensiones de un objeto con respecto a una posición fija. Podemos expresar las transformaciones bidimensionales como operadores de matrices de 3 por 3 y las transformaciones tridimensionales como operadores de matrices de 4 por4, de tal forma que esas secuencias de transformaciones pueden concatenarse dentro de una matriz compuesta.
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